目录
一、核心方法详细梳理
1. 定义法（直接计算法）
2. 比较判别法（核心工具）
3. 区间拆分法（混合型积分）
4. 振荡函数处理法（Dirichlet与Abel判别法）
二、考研真题与高难度例题解析
1. 基础题型：单一瑕点或无穷区间编辑
2. 混合型积分（多重瑕点+无穷区间）
3. 含参数的高难度题
4. 振荡函数与绝对收敛
三、解题步骤与易错点总结
标准化解题流程
易错点警示
四、综合自测题（附提示）
一、核心方法详细梳理
反常积分的敛散性判断需从定义出发，结合比较、极限、拆分等技巧，以下为四大核心方法：
1. 定义法（直接计算法）
适用场景：被积函数原函数易求，或可通过变量替换转化为标准形式。 操作步骤：
1.计算极限形式的反常积分：
2.若极限存在且有限，则收敛；否则发散。
经典例子：
2. 比较判别法（核心工具）
适用场景：被积函数复杂但可找到简单函数（如1/ ）进行比较。 操作步骤：
极限形式（更灵活）：
3. 区间拆分法（混合型积分）
适用场景：积分区间同时包含无穷和瑕点（如）。 操作步骤：
1.将积分拆分为纯无穷积分和纯瑕积分，如：
2.分别判断各部分的敛散性，全部收敛则整体收敛。
关键点：拆分点可任意选择（通常选瑕点或函数形式变化的点）。
例子：
4. 振荡函数处理法（Dirichlet与Abel判别法）
适用场景：被积函数含 sinx,cosx等振荡项。 Dirichlet判别法：
Abel判别法：
二、考研真题与高难度例题解析
1. 基础题型：单一瑕点或无穷区间
2. 混合型积分（多重瑕点+无穷区间）
3. 含参数的高难度题
4. 振荡函数与绝对收敛
三、解题步骤与易错点总结
标准化解题流程
类型识别：判断是无穷积分、瑕积分还是混合型。找主部：用泰勒展开或等价无穷小简化被积函数（如 x→0时 sinx∼x）。选择方法：
原函数易求 → 定义法；复杂但可比较 → 比较判别法；含振荡项 → Dirichlet/Abel法。 拆分验证：混合型积分必须拆分后分别判断。
易错点警示
忽略隐藏瑕点：如 在 x=0 处为瑕点。误用奇偶性：先验证收敛性，再尝试对称性简化。参数讨论不全：对含 p 的积分需分段讨论，尤其是临界值。
四、综合自测题（附提示）
通过系统掌握核心方法、精准分析例题、规避易错点，可彻底攻克反常积分敛散性难题。建议结合真题反复练习，尤其注重拆分区间、极限比较、振荡处理三大核心操作。